数学中什么是同余同余有什么作用

发布时间：2023-08-10 15:15责任编辑：秦小花关键词：作用,数学
  １．所谓“同余”是指两个整数ａ，ｂ被正整数ｍ除后余数相同（或者讲ａ和ｂ的差被ｍ整除），则说对于模ｍ，ａ和ｂ同余。 
　　　　记作ａ≡ｂ（ｍｏｄ ｍ）
　　２． 同余有一系列的性质，下面仅列举同余的部分性质。
　　（１）｝ａ≡ｃ（ｍｏｄ ｍ）
　　（２）｝ａ±ｃ≡ｂ±ｄ（ｍｏｄ ｍ）
　　（３）｝ａｃ≡ｂｄ（ｍｏｄ ｍ）
　　（４）ａ≡ｂ　（ｍｏｄ ｍ）ａ≡ｂ（ｍｏｄ ｍ）　（ｎ∈Ｎ）
　　（５）ａｋ≡ｂｋ　（ｍｏｄ ｍ）
　　　　　且（ｋ，ｍ）＝ｄａ≡ｂ　（ｍｏｄ ）
　　推论：ａｋ≡ｂｋ（ｍｏｄ ｍ）?
　　　　　且（ｋ，ｍ）＝１ａ≡ｂ  （ｍｏｄ ｍ）
　　上述几条都属同余的平凡性质，但非常重要，你可以试着写出它们的证明。
  
　　３． 模ｍ的完全剩余组
　　所谓模ｍ的完全剩余组是指由模ｍ的所有不同剩余组成的集合。
　　常用有下列两种：
　　（１） 模ｍ的非负最小完全剩余组。如８的非负最小完全剩余组｛０，１，２，３，４，５，６，７｝。
　　（２） 模ｍ的绝对最小完全剩余组。
  如８的绝对最小完全剩余组｛０，±１，±２，±３，４｝。
　　４． 模ｍ的完全剩余组具有下列性质
　　（１） 若ａ，ａ…，ａ是对模ｍ两两互不同余的ｍ个数，则该组数构成模ｍ的完全剩余组。
　　（２）若（ａ，ｍ）＝１，ｂ是任意整数，式子ａｘ＋ｂ中，当ｘ通过模ｍ的完全剩余组时，ａｘ＋ｂ亦通过模ｍ的完全剩余组
　　证： （１）设ｘ通过模ｍ的完全剩余组
　　ａ，ａ，ａ，…ａ
　　则由ｃ＝ａａ＋ｂ得到下列数组
　　ｃ，ｃ，ｃ，…ｃ
　　（２） 假设ｃ≡ｃ　　（ｍｏｄ ｍ）　　（ｉ≠ｊ）
　　ａａ＋ｂ≡ａａ＋ｂ　　 （ｍｏｄ ｍ）
　　ａａ≡ａａ　　     （ｍｏｄ ｍ）
　　∵ （ａ，ｍ）＝１ａ≡ａ　　（ｍｏｄ ｍ）
　　这与模ｍ的完全剩余组假设矛盾，可见ｃ（ｉ＝１，２，…ｍ）
　　是对模ｍ两两互不同余的ｍ个数，因此构成模ｍ的完全剩余组
　　５． 与模ｍ互素的剩余组
　　１）所谓与模互素的剩余组，是由模ｍ的完全剩余组中，删除那些与模ｍ不互素的剩余，剩下的便组成与模ｍ互素的剩余组
　　如８的互素剩余组｛０，１，２，３，４，５，６，７｝＝｛１，３，５，７｝
　　２）定义（ｍ）为正整数中，不大于ｍ且与ｍ互素的正整数个数。
  规定（１）＝１，如（１０）＝４。这样与模ｍ互素的剩余组应由（ｍ）个剩余组成。（ｍ）被称作欧拉互数。
　　３）模ｍ的互素剩余组成性质
　　（１） 任何与模ｍ互素，且对模ｍ，两两互不动余的（ｍ）个整数，构成与模ｍ互素的剩余组
　　（２） 设（ａ，ｍ）＝１，在ａｘ中，当ｘ通过与模ｍ互素的剩余组时，ａｘ也通过与模ｍ互素的剩余组。
  
　　下面谈谈著名的欧拉定理和弗马小定理。
　　６． 欧拉定理与弗马小定理
　　（１） 欧拉定理
　　若ｍ是一正整数，（ａ，ｍ）＝１（ａ∈ｚ）
　　则ａ≡１　（ｍｏｄ ｍ）
　　其中（ｍ）是欧拉数。
　　证：我们来讨论ａｘ．
　　（１） 让ｘ通过与模ｍ的互素非负最小剩余组：ｒ，ｒ，ｒ，…ｒ
　　则ａｘ也通过与模ｍ的互素非负最小剩余组： ａｒ，ａｒ，ａｒ，……ａｒ
　　于是　　ａｒ≡ｒ　　　　（ｍｏｄ ｍ）
　　　　　　ａｒ≡ｒ　　　　（ｍｏｄ ｍ）
　　　　　　ａｒ≡ｒ　　（ｍｏｄ ｍ）
　　把上面这些同余式逐项相乘，得
　　ａｒ·ｒ…ｒ≡ｒ·ｒ…ｒ　（ｍｏｄ ｍ）
　　由于ｒ，ｒ…，ｒ只是ｒ，ｒ，…ｒ的另外一种排列。
  
　　所以由同余性质（５）的推论，上式两边可消去与模ｍ互素的（ｍ）个剩余的乘积，于是得到
　　ａ≡１　　（ｍｏｄ ｍ）
　　这就是著名的欧拉定理。
　　（２） 弗马小定理
　　（１）设ｐ是素数，（ａ，ｐ）＝１则ａ≡１　　（ｍｏｄ ｐ）
　　证：　∵ （ｍ）＝（ｐ）＝ｐ－１
　　　　　∴ ａ＝ａａ≡１　（ｍｏｄ ｐ）
　　可见弗马小定理实为欧拉定理之一特例。
  
　　弗马小定理常写成另外一种形式
　　（２） 弗马小定理，第二公式　
　　无论怎样的整数ａ，同余式
　　ａ≡ａ　　（ｍｏｄ ｐ）
　　恒成立，这里ｐ是一素数。
  
　　证： （１） 设（ｐ，ａ）＝１，则由欧拉定理可知ａ≡１（ｍｏｄ ｐ）成立，把这个同余式两边乘以ａ，推出ａ≡ａ（ｍｏｄ ｐ）成立
　　（２） 设（ｐ，ａ）≠１ｐ／ａ
　　由ｐ／ａｐ／ａ（ａ－１）ｐ／（ａ－ａ）
          ａ－ａ≡０（ｍｏｄ ｐ）
      ａ≡ａ（ｍｏｄ ｐ）
。
数学中什么是同余同余有什么作用

知识推荐
