简单的概率分布函数题

  请允许我用中文回答：
(1)
f(x)=2*e^(-cx),x>0;f(x)=0,x≤0
据密度函数的正则性(the regularity of density function)
有：∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx
=∫0dx+∫2*e^(-cx)dx
=2/c=1
则c=2
则f(x)=2*e^(-2x),x>0;f(x)=0,x≤0
X～Ga(1,2)
(2)
F(x)=∫f(t)dt
分类讨论：
(Ⅰ)当x≤0时，F(x)=∫0dt=0
(Ⅱ)当x>0时，F(x)=∫f(t)dt
=∫0dt+∫2*e^(-2t)dt
=1-e^(-2x)
综上所述：F(x)=1-e^(-2x),x>0;F(x)=0,x≤0
(3)
其实知道X～Ga(1,2)
我们就已经可以直接写出它的数学期望和方差了（争取记住吧）
EX=1/2,varX=1/4
就本题我们再来推导一遍吧
EX=∫[2x*e^(-2x)]dx
令t=2x,有：EX=(1/2)*∫[t*e^(-t)]dt=(1/2)Γ(2)=1/2
应该熟悉Γ函数吧？不熟悉的话自己用分部积分推导一下哈
EX²=∫[2x²*e^(-2x)]dx
令t=2x,有：EX²=(1/4)*∫[t²*e^(-t)]dt
=(1/4)Γ(3)=1/2
于是varX=EX²-(EX)²=1/4
。